有理数

整式的乘法(数形结合)
有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。

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数学术语运算有理数的由来有理数的现代理论实数p进数一个困难的问题：有理数的边界在哪里？部分相关定理整 数正数和负数相加 　　
数学术语　　有理数可分为整数和分数 　　也可分为正有理数，0，负有理数。 　　除了无限不循环小数以外的数统称有理数。 　　有理数（rational number) 　　读音:(yǒu lǐ shù) 　　整数和分数统称为有理数，任何一个有理数都可以写成分数m/n（m，n都是整数，且n≠0）的形式。 　　任何一个有理数都可以在数轴上表示。 　　其中包括整数和通常所说的分数，此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数。 　　这一定义在数的十进制和其他进位制（如二进制）下都适用。 　　数学上，有理数是一个整数 a 和一个非零整数 b 的比(ratio)，通常写作 a/b，故又称作分数。希腊文称为 λογο，原意为“成比例的数”(rational number)，但中文翻译不恰当，逐渐变成“有道理的数”。 　　无限不循环小数称之为无理数（例如：圆周率π） 　　有理数和无理数统称为实数。 　　所有有理数的集合表示为Q。 　　有理数包括： 　　(1)自然数：数0，1，2，3，……叫做自然数. 　　(2)正整数：＋1，＋2，＋3，……叫做正整数。 　　(3）负整数：－1，－2，－3，……叫做负整数。 　　(4）整数：正整数、0、负整数统称为整数。 　　(5）分数：正分数、负分数统称为分数。 　　(6）奇数：不能被2整除的整数叫做奇数。如-3，-1，1，5等。所有的奇数都可用2n-1或2n+1表示，n为整数。 　　(7）偶数：能被2整除的整数叫做偶数。如-2，2，4，8等。所有的偶数都可用2n表示，n为整数。 　　(8）质数：如果一个大于1的整数，除了1和它本身外，没有其他因数，这个数就称为质数，又称素数，如 2，3，11，13等。2是最小的质数。 　　(9）合数：如果一个大于1的整数，除了1和它本身外，还有其他因数，这个数就称为合数，如4，6，9 ，15等。4是最小的合数。一个合数至少有3个因数。 　　(10）互质数：如果两个不相同的正整数，除了1以外没有其他公因数，这两个整数称为互质数，如2和5 ，7和13等。 　　…… 　　如3，-98.11，5.72727272……，7/22都是有理数。 　　全体有理数构成一个集合，即有理数集，用粗体字母Q表示，较现代的一些数学书则用空心字母 Q表示。 　　有理数集是实数集的子集，即Q?R。相关的内容见数系的扩张。 　　有理数集是一个域，即在其中可进行四则运算（0作除数除外），而且对于这些运算，以下的运算律成立（a 、b、c等都表示任意的有理数）： 　　①加法的交换律 a+b=b+a； 　　②加法的结合律 a+(b+c)=(a+b)+c； 　　③存在数0，使 0+a=a+0=a； 　　④乘法的交换律 ab=ba； 　　⑤乘法的结合律 a(bc)=(ab)c； 　　⑥乘法的分配律 a(b+c)=ab+ac。 　　0a＝0 文字解释：一个数乘0还等于0。 　　此外，有理数是一个序域，即在其上存在一个次序关系≤。 　　0的绝对值还是0. 　　有理数还是一个阿基米德域，即对有理数a和b，a≥0，b>0，必可找到一个自然数n，使nb>a。由 此不难推知，不存在最大的有理数。 　　值得一提的是有理数的名称。“有理数”这一名称不免叫人费解，有理数并不比别的数更“有道理”。事实上 ，这似乎是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来，在英语中是（rational number），而（rational）通常的意义是“理性的”。中国在近代翻译西方科学著作，依据日语中 的翻译方法，以讹传讹，把它译成了“有理数”。但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为（ratio），就 是比率的意思（这里的词根是英语中的，希腊语意义与之相同）。所以这个词的意义也很显豁，就是整数的“比” 。与之相对，而“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理（无理数就是无限不循环小数 ，π也是其中一个无理数）。运算　　有理数加减混合运算 　　1.理数加减统一成加法的意义： 　　对于加减混合运算中的减法，我们可以根据有理数减法法则将减法转化为加法，这样就可将混合运算统一为加 法运算，统一后的算式是几个正数或负数的和的形式，我们把这样的式子叫做代数和。 　　2.有理数加减混合运算的方法和步骤： 　　（1）运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。 　　（2）运用加法法则，加法交换律，加法结合律简便运算。 　　一般情况下，有理数是这样分类的： 　　整数、分数；正数、负数和零；负有理数，非负有理数。 　　整数和分数统称有理数,有理数可以用a/b的形式表达，其中a、b都是整数，且互质。我们日常经常使用有理数的。比如多少钱，多少斤等。 　　凡是不能用a/b形式表达的实数就是无理数，又叫无限不循环小数。 　　在有理数中，小数就是分数。有理数的由来　　古埃及人约于公元前17世纪初已使用分数，中国《九章算术 》中也载有分数的各种运算。分数的使用是由于除法运算的需要。除法运算可以看作求解方程px=q（p≠0） ，如果p，q是整数，则方程不一定有整数解。为了使它恒有解，就必须把整数系扩大成为有理系。有理数的现代 理论　　关于有理数系的严格理论，可用如下方法建立。在Z×（Z -{0}）即整数有序对（但第二元不等于零）的集上定义的如下等价关系：设 p1，p2 Z，q1，q2 Z - {0}，如果p1q2=p2q1。则称（p1，q2）～（p2，q1）。Z×（Z -{0}）关于这个等价关系的等价类，称为有理数。（p，q）所在的有理数，记为 。一切有理数所成之集记为Q。令整数p对应一于，即（p，1）所在的等价类，就把整数集嵌入到有理数的集中 。因此，有理数系可说是由整数系扩大后的数系。 　　有理数集合是一个数域。任何数域必然包含有理数域。即有理数集合是这歌最小的数域。实数　　有理数是实 数的紧密子集：每个实数都有任意接近的有理数。一个相关的性质是，仅有理数可化为有限连分数。 　　依照它们的序列，有理数具有一个序拓扑。有理数是实数的（稠密）子集，因此它同时具有一个子空间拓扑。 采用度量，有理数构成一个度量空间，这是上的第三个拓扑。幸运的是，所有三个拓扑一致并将有理数转化到一个 拓扑域。有理数是非局部紧致空间的一个重要的实例。这个空间也是完全不连通的。有理数不构成完备的度量空间 ；实数是的完备集。p进数　　除了上述的绝对值度量，还有其他的度量将转化到拓扑域： 　　设p是素数，对任何非零整数a设 | a | p = p - n，这里pn是p的最高次幂除a； 　　另外 | 0 | p = 0。对任何有理数，设。 　　则在上定义了一个度量。 　　度量空间不完备，它的完备集是p进数域。一个困难的问题：有理数的边界在哪里？　　根据定义，无限循环 小数和有限小数（整数可认为是小数点后是0的小数），统称为有理数，无限不循环小数是无理数。 　　但人类不可能写出一个位数最多的有理数，对全地球人类，或比地球人更智慧的生物来说是有理数的数，对每 个地球人来说，可能是无法知道它是有理数还是无理数了。因此有理数和无理数的边界，竟然紧靠无理数，任何两 个十分接近的无理数中间，都可以加入无穷多的有理数，反之也成立。 　　竟然没有人知道有理数的边界，或者说有理数的边界是无限接近无理数的。 　　定理：位数最多的非无限循环有理数是不可能被写出的，尽管它的定义是有有限位，但它是无限趋近于无理数 的，以致于没有手段进行判断。 　　证明：假设位数最多的非无限循环有理数被写出，我们在这个数的最后再加一位，这个数还是有限位有理数， 但位数比已写出有理数多一位,polo shirts for sale，证明原来写出的不是位数最多的非无限循环有理数。所以位数最多的非无限循环有理数是不可能被写出的。部分 相关定理整数　　整数距离0的数值，，称为绝对值。0的绝对值为0，负数的绝对值是它的相反数，整数的绝对 值是它本身。 　　整数还包括正数、负数和0。正数和负数相加　　同号相加，取相同的符号，把两数相加并加上符号。异号相 加，取绝对值较大数的符号，用较大绝对值减去较小绝对值。 　　(+5)+(+1)=(+6)(-6)+(-1)=(-7)(+7)+(-6)=(+1) 词条图册更多图册 扩展阅读： 1
数分为实数和虚数
2
实数又分为有理数和无理数
3
有理数分为整数和分数
4
有理数分为整数和小数（不包括无限不循环小数）
5
整数分为正整数，负整数和0。
6
正整数和0又被称为自然数
开放分类： 数学，代数，数，数系，无理数 “有理数”在汉英词典中的解释(来源：百度词典)： 1.[Mathematics] a rational (number) 我来完善 “有理数”相关词条：